Problemas retos de Matemática.

Resuelva correctamente los dos problemas correspondientes al grado que cursa. 

SÉPTIMO

1. Determine dos números del conjunto cuyo producto sea igual a la suma de los demás números del conjunto.

2. David escribe una lista de números. El primero es 25, y luego cada número es la suma de los cuadrados de los dígitos del anterior. Por ejemplo, el segundo en la lista es , y el tercero es . ¿Qué número aparece en la posición 2019? 

OCTAVO 

1. Los números abacanados son los enteros positivos que no se pueden escribir como la suma de tres cuadrados perfectos. Por ejemplo 7 es abacanado, pero 8 y 14 No son abanacados (   . )

      Aclaración:  consideraremos al cero como un entero positivo.

       a) Encontrar un número abacanado mayor que 210.

       b) ¿Cuántos números abacanados hay entre 210 y 2019?

2.Misael escribe los números desde el 1 hasta el 2009 consecutivamente en la pizarra. En una primera pasada borra el primer número escrito, el tercero, el quinto y así sucesivamente hasta borrar el 2009. En una segunda pasada aplica el mismo procedimiento a los números que quedaron, borrando el primero de ellos, el tercero, el quinto y así sucesivamente. Esto se repite mientras queden números en la pizarra.

        a) ¿En qué pasada Misael elimina el número 1728?

        b) ¿Cuál es el último número borrado y en qué pasada se elimina?

NOVENO

1.Inscrita en un circulo está dibujada una figura cuyo contorno consta de 8 semicírculos como se ve en la figura. Si el radio de cada semicírculo es 1. ¿Cuánto mide el área sombreada?

2.¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor divisor primo de  2 16 – 1?

DECIMO

1. Marlene compra boletos para ella y su hermano Elías, que es cinco años menor que Marlene, para el concierto de uno de sus cantantes favoritos. Cada boleto tiene impreso un número de tres dígitos. El día del concierto, Marlene observa que los números de los boletos son consecutivos, y que además la suma de los seis dígitos es precisamente 27, su edad actual. Cuando se lo comenta a Elías, éste trata de deducir los números de los boletos sin éxito, por lo que le pide a Marlene un dato adicional. Entonces Marlene le dice: “La suma de los números de uno de los boletos es tu edad” y, con esa nueva información, Elías logra deducir correctamente el número de cada boleto. ¿Cuáles eran esos números?

2. Se escribe las cifras de 1995 como sigue:

  199511999955111999999555….

  a) Calcular cuántos dígitos se deben escribir para que la suma de los dígitos escritos sea 2880.

  b) Determinar el dígito que aparece en el lugar 1995.

UNDÉCIMO

1. Al final de un torneo de fútbol en el que cada par de equipos jugaron entre si exactamente una vez y donde no hubo empates, se observó que para cualesquiera tres equipos A, B y C, si A le ganó a B y B le ganó a C entonces A le ganó a Cada equipo cálculo la diferencia (positiva) entre el número de partidos que ganó y el número de partidos que perdió. La suma de todas estas diferencias resultó ser 5000. ¿Cuántos equipos participaron en el torneo? Encuentra todas las respuestas posibles.

2.Meyling tiene que factorizar en primos los números enteros 2002, 2012, …, 9002, es decir, todos los cuadrados perfectos desde 2002 hasta       9002. A continuación, debe hacer la lista de todos los primos distintos que figuran en alguna de estas factorizaciones. Francisco tiene que         factorizar en primos los números enteros 2002 – 1, 2012 – 1, …, 9002 – 1, es decir, todos los que preceden a los cuadrados perfectos desde     2002– 1, hasta 9002 – 1. A continuación debe hacer la lista de todos los primos distintos que figuran en alguna de estas factorizaciones.        ¿Cuál de las dos listas tiene más números primos?

NOTA: Cuando Meyling hace su lista, si un primo figura en varios números o varias veces en un número, lo cuenta solo una vez. Lo mismo hace Francisco.